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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

3.10. Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:
x) f(x)=(sinxx2+1)5x+1f(x)=\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5 x+1}}

Respuesta

Acá nuevamente tenemos algo que depende de xx elevado a algo que también depende de xx... Vamos a seguir los mismos pasos que te mostré en el item (t):

Nosotros queremos derivar f(x)=(sinxx2+1)5x+1f(x)=\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5 x+1}}

1. Aplicamos logaritmo natural en ambos miembros: ln(f(x))=ln((sinxx2+1)5x+1) \ln(f(x)) = \ln\left(\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5x + 1}}\right) 2. Utilizamos la propiedad del logaritmo para el término de la derecha: ln(f(x))=5x+1ln(sinxx2+1) \ln(f(x)) = \sqrt{5x + 1} \cdot \ln\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right) 3. Derivamos ambos lados con respecto a x x . Atenti acá al derivar el lado derecho, no desesperes. Primero aplicá regla del producto. Y cuando te toque derivar "al segundo", vas a tener que aplicar la regla de la cadena, y la derivada de adentro del logaritmo es un cociente... así que ahí aplicá regla del cociente. Deberías llegar a esto: f(x)f(x)=525x+1ln(sinxx2+1)+5x+11sinxx2+1(cosx(x2+1)sinx2x(x2+1)2) \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{5}{2\sqrt{5x + 1}} \cdot \ln\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right) + \sqrt{5x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin x}{x^{2}+1}} \cdot \left(\frac{\cos x \cdot (x^{2}+1) - \sin x \cdot 2x}{(x^{2}+1)^2}\right)
6. Despejamos f(x)f'(x) f(x)=(sinxx2+1)5x+1(525x+1ln(sinxx2+1)+5x+1 x2+1sinx (cosx(x2+1)sinx2x(x2+1)2)) f'(x) = \left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5x + 1}} \cdot \left(\frac{5}{2\sqrt{5x + 1}} \cdot \ln\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right) + \sqrt{5x + 1} \cdot \frac{x^2 + 1}{\sin x} \cdot \left(\frac{\cos x \cdot (x^{2}+1) - \sin x \cdot 2x}{(x^{2}+1)^2}\right)\right)
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ExaComunidad
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Ivan
5 de mayo 15:59
Hola Flor, me da lo mismo a excepcion de la ultima derivacion, me refiero a ln (sen x/x2+1), aca tengo otro término mas 1/ (sen x/x2+1)
Flor
PROFE
5 de mayo 20:37
@Ivan Ayyyy si! Me lo comi yoooo 😱, gracias por avisar! Ya estaría re quemada escribiendo estas derivadas jajaja ahí ya lo modifico!
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Ivan
6 de mayo 9:16
Flor.... quiero aprovechar para agradecerte todo lo que haces en las redes en favor de los que estudiamos estas cosas, la verdad es sobrehumano lo que haces y yo no hubiera llegado hasta aca de no ser por vos

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